Question

8．已知P（x，y）為區域$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}-4{x}^{2}≤0}\\{0≤x≤a}\end{array}\right.$內的任意一點，當該區域的面積為2時，z=x+2y的最大值是5．

Answer 1

分析 作出不等式組對應的平面區域．根據三角形的面積求出a的值，利用數形結合進行求解即可．

解答 解：不等式組等價為$\left\{\begin{array}{l}{（y-2x）（y+2x）≤0}\\{0≤x≤a}\end{array}\right.$，
 即$\left\{\begin{array}{l}{y-2x≥0}\\{y+2x≤0}\\{0≤x≤a}\end{array}\right.$ 或$\left\{\begin{array}{l}{y-2x≤0}\\{y+2x≥0}\\{0≤x≤a}\end{array}\right.$，

則A（a，-2a），B（a，2a），
由S_△OAB=$\frac{1}{2}$•4a•a=2，得a=1．
∴B（1，2），
由z=x+2y得y=$-\frac{1}{2}$x+$\frac{z}{2}$，
∴當y=$-\frac{1}{2}$x+$\frac{z}{2}$過B點時，z最大，z=1+2×2=5．
故答案為：5

點評 本題主要考查線性規劃的基本應用，利用z的幾何意義是解決線性規劃問題的關鍵，注意利用數形結合來解決．