Question

已知數列{a_n}，a₁=1，且滿足關系a_n-a_n-1=2（n≥2），
（1）寫出a₂，a₃，a₄，的值，并猜想{a_n}的一個通項公式．
（2）利用數學歸納法證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）由a₁=1，a_n-a_n-1=2（n≥2），可求得a₂，a₃，a₄的值，從而可猜想{a_n}的一個通項公式．
（2）按照數學歸納法的證題步驟：先證明n=1時命題成立，再假設當n=k（k≥2）時結論成立，去證明當n=k+1時，結論也成立，從而得出命題a_n=2n-1對任意的正整數n恒成立．
解答：解：（1）∵a₁=1，a_n-a_n-1=2（n≥2），
∴a₂=2+a₁=3，同理可求得a₃=5，a₄=7，故可猜想得到a_n=2n-1．        …（4分）
（2）證明：①當n=1時，結論顯然成立；          …（6分）
②設當n=k（k≥2）時，結論成立，即a_k=2k-1，
則當n=k+1時，a_k+1-a_k=2，…（8分）
所以a_k+1=a_k+2=2k-1+2=2（k+1）-1，也滿足公式．  …（10分）
綜①②知，命題a_n=2n-1對任意的正整數n恒成立．  …（12分）
點評：本題考查數學歸納法，關鍵是證明n=k+1時，命題成立必須用上歸納假設，屬于中檔題．