Question

如圖所示，為了制作一個圓柱形燈籠，先要制作4個全等的矩形骨架，總計耗用9.6米鐵絲，骨架把圓柱底面8等份，再用S平方米塑料片制成圓柱的側面和下底面（不安裝上底面）．
（1）當圓柱底面半徑r取何值時，S取得最大值？并求出該最大值（結果精確到0.01平方米）；
（2）在燈籠內，以矩形骨架的頂點為點，安裝一些霓虹燈，當燈籠的底面半徑為0.3米時，求圖中兩根直線A₁B₃與A₃B₅所在異面直線所成角的大小（結果用反三角函數表示）

Answer 1

分析：（1）由題意可圓柱的高為h，可得s=2πrh+πr²用r表示出來，然后利用配方法求出s的最大值；
（2）利用向量建立坐標系來求解，以直線A₃A₇、A₁A₅及圓柱的軸為x、y、z軸，表示出直線A₁B₃與A₃B₅的坐標，從而求解．

解答：解：（1）設圓柱的高為h，由題意可知，4（4r+2h）=9.6，
即2r+h=1.2，
s=2πrh+πr²=πr（2.4-3r）=3π[-（r-0.4）²+0.16]，其中0＜r＜0.6
∴當半徑r=0.4m時，S_max=0.48π≈1.51（m²）
（2）當r=0.3時，由2r+h=1.2，解得圓柱的高h=0.6（米），
如圖以直線A₃A₇、A₁A₅及圓柱的軸為x、y、z軸，
建立空間直角坐標系，則有，
A₁（0，-0.3，0）
B₃（0.3，0，0.6）
A₃（0.3，0，0）
B₅（0，0.3，0.6），
∴

A1B3

=（0.3，0.3，0.6），

A3B3

=（-0.3，0.3，0.6），
兩根直線A₁B₃與A₃B₅所在異面直線所成角α有，
cosα=

0.36

( 0.09+0.09+0.36 )2

=

2

3

∴兩線A₁B₃與A₃B₅所在異面直線所成角的大小arccos

2

3

．

點評：此題將函數與立體幾何結合起來出題，考查利用配方法求二次函數的最值問題及異面直線的夾角問題，是一道好題．