Question

有如下列命題：
①

x2+2

x2+1

的最小值為2；
②lgx+log_x10的最小值是2；
③sin2x+

4

sin2x

的最小值是4；
④若x＞0，y＞0且

2

x

+

8

y

=1，則xy的最小值是64；
⑤若a＞0，b＞0，a+b=1，則(a+

1

a

)2+(b+

1

b

)2的最小值是8；
寫出所有正確命題的序號

①④

．

Answer 1

分析：根據(jù)基本不等式的條件分別進(jìn)行判斷．

解答：解：①

x2+2

x2+1

=

x2+1+1

x2+1

=

x2+1

+

1

x2+1

≥2，當(dāng)且僅當(dāng)

x2+1

=

1

x2+1

，即x²+1=1，所以x=0時取等號，所以①正確．
②當(dāng)0＜x＜1時，lgx＞0，所以②錯誤．
③sin2x+

4

sin2x

≥2

sin2x? 4 sin2x

=2

4

=4，當(dāng)且僅當(dāng)sin2x=

4

sin2x

，即sin²x=2取等號，顯然不成立，所以③錯誤．
④由

2

x

+

8

y

=1，得1=

2

x

+

8

y

≥2

2 x ? 8 y

=2

16 xy

，解得xy≥64，所以xy的最小值是64，所以④正確．
⑤因為(a+

1

a

)2+(b+

1

b

)2=≥(2

a? 1 a

)2+(2

b? 1 b

)2=4+4=8，當(dāng)且僅當(dāng)a=

1

a

且b=

1

b

，即a=1，b=1時取等號，但a+b=2與a+b=1矛盾，所以⑤不正確．
故答案為：①④．

點(diǎn)評：本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，主要基本不等式成立的條件．一正，二定，三相等，缺一不可．