Question

【題目】如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側面ABB1A1為菱形且∠BAA1＝60°，D，M分別為CC1和A1B的中點，A1D⊥CC1，AA1＝A1D＝2，BC＝1．

（1）證明：直線MD∥平面ABC；

（2）求D點到平面ABC的距離．

Answer 1

【答案】（1）見解析； （2）.

【解析】

（1）根據題意，得到共點的三條直線兩兩垂直，建立空間直角坐標系，利用直線的方向向量與平面的法向量垂直，從而證得線面平行；

（2）利用點D與平面ABC內的一個點連線構成的向量在平面ABC的法向量上的投影的絕對值，來求得點到平面的距離.

⑴解：，且D為中點，.

,

又，，

，.

又，.

取中點F，則，即BC、BF、兩兩互相垂直.

以B為原點，、BF、BC分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標系如圖所示，

則（2，0，0），C（0，0，1），A（-1，，0），（1，，0），

（2，0，1），D（1，0，1），M（，，0），B（0，0，0），

（，，1），（-1，，0），（0，0，1），

設平面ABC的法向量為（x，y，z），

則，取，得（，1，0），

，.

又平面ABC，∴直線MD//平面ABC.

（2）由（1）知平面ABC的法向量為（，1，0），（1，0，1）

∴D到平面ABC的距離：.