Question

如圖，在棱長都等于1的三棱錐A-BCD中，F是AC上的一點，過F作平行于棱AB和棱CD的截面，分別交BC，AD，BD于E，G，H．
（1）證明截面EFGH是矩形；
（2）F在AC的什么位置時，截面面積最大，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據面面平行的性質定理，可得AB∥EF，AB∥GH，進而EF∥GH，同理EH∥CD∥FG，則可得四邊形EFGH是平行四邊形，結合四棱錐的幾何特征，證得EF⊥CD后，可得截面EFGH是矩形；
（2）設FG=x，x∈（0，1），可得四邊形面積的解析式：S_EFGH=EF•FG=x（1-x），進而根據二次函數的圖象和性質，可得答案．
解答：證明：（1）∵AB∥平面EFGH，
平面ABC∩平面EFGH=EF
∴AB∥EF
同理AB∥GH
∴EF∥GH
同理EH∥CD∥FG
∴四邊形EFGH是平行四邊形
取CD中點S，連接AS，BS
∵AC=AD，S是CD中點
∴AS⊥CD
同理 BS⊥CD
又∵AS∩BS=S
∴CD⊥平面ABS
∴CD⊥AB
又∵AB∥EF，FG∥CD
∴EF⊥CD
即 四邊形EFGH是矩形
解：（2）設FG=x，x∈（0，1）
由（1）知==，
又CD=AB=1
∴EF=1-x
則S_EFGH=EF•FG=x（1-x）
=-（x-）²+
∴當x=時，S_EFGH最大
即F是AC的中點時，截面面積最大
點評：本題考查的知識點是棱錐的結構特征，特殊四邊形的判定，二次函數的圖象和性質，熟練掌握棱錐的結構特征是解答的關鍵．