Question

如圖，平面PCBM⊥平面ABC,∠PCB=90°,PM∥BC,直線AM與直線PC所成的角為60°，又AC=1,BC=2PM=2,∠ACB=90°      

（Ⅰ）求證：AC⊥BM;

（Ⅱ）求二面角M-AB-C的大小；

（Ⅲ）求多面體PMABC的體積.

Answer 1

本題主要考察異面直線所成的角、平面與平面垂直、二面角、棱錐體積等有關知識，考察思維能力和空間想象能力、應用向量知識解決數學問題的能力、化歸轉化能力和推理運算能力。

解法一：

（Ⅰ）∵平面PMBC⊥平面ABC，AC⊥BC，AC平面ABC

∴AC⊥平面PMBC，

又∵BM平面PMBC

∴AC⊥BM

（Ⅱ）取BC的中點N，則CN=1，連結AN，MN，，

∵平面PCBM⊥平面ABC，平面PCBM平面ABC=BC，PC⊥BC

∴PC⊥平面ABC

∵，∴，從而

作NH⊥AB于H，連結MH，則由三垂線定理知，AC⊥MH，

從而MHN為二面角M-AB-C的平面角

直線AM與直線PC所成的角為60°

∴AMN=60°

在ACN中，由勾弦定理得AN=

在RtAMN中，MN=AN?cotAMN=

在RtBNH中，NH=BN?sinABC=BN?

在RtMNH中，

故二面角M-AB-C的大小為

（Ⅲ）因多面體PMABC就是四棱錐A-BCPM