Question

【題目】已知函數(shù)，.

（Ⅰ）討論的單調(diào)性；

（Ⅱ）記在上最大值為，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）.

【解析】試題分析：

（Ⅰ）求導(dǎo)可得：，分類討論：

①當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；

②當(dāng)時(shí)，函數(shù)的遞增區(qū)間有，，遞減區(qū)間有.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：

①當(dāng)時(shí)，；

②當(dāng)即時(shí)，；

③當(dāng)時(shí)，分類討論有：

當(dāng)時(shí)，，∴；

當(dāng)時(shí)，，∴.

據(jù)此可得若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.

試題解析：

（Ⅰ），

①當(dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增；

②當(dāng)時(shí)，令，得，

∴時(shí)，；

時(shí)，，

∴函數(shù)的遞增區(qū)間有，，遞減區(qū)間有.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：

①當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，此時(shí)；

②當(dāng)即時(shí)，，∴在單調(diào)遞減，

∴，∵，∴，即；

③當(dāng)時(shí)，，

而在，遞增，在上遞減，

∴ .

由，得，令，則，

∴，即 ，∴，∴.

∴當(dāng)時(shí)，，∴；

當(dāng)時(shí)，，∴.

綜合①②③得：若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.