Question

ABCD-A₁B₁C₁D₁單位正方體，黑白兩個螞蟻從點A出發沿棱向前爬行，每走完一條棱稱為“走完一段”．白螞蟻爬地的路線是AA₁→A₁D₁→…，黑螞蟻爬行的路線是AB→BB₁→…，它們都遵循如下規則：所爬行的第i+2與第i段所在直線必須是異面直線（其中i是自然數）．設白，黑螞蟻都走完2011段后各停止在正方體的某個頂點處，這時黑，白兩螞蟻的距離是（　　）

A．1

B．c²=a²+b²

C．c²=a²+b²

D．0

Answer 1

分析：根據規則，觀察黑螞蟻與白螞蟻經過幾段后又回到起點，得到每爬6步回到起點，周期為6．計算黑螞蟻爬完2011段后實質是到達哪個點以及計算白螞蟻爬完2011段后實質是到達哪個點，即可計算出它們的距離．

解答：解：由題意，白螞蟻爬行路線為AA₁→A₁D₁→D₁C₁→C₁C→CB→BA，即過6段后又回到起點，可以看作以6為周期，
同理，黑螞蟻也是過6段后又回到起點．
所以黑螞蟻爬完2011段后回到A點，
同理，白螞蟻爬完2011段后到回到D點；
所以它們此時的距離為1．
故選A．

點評：本題以一個創新例子為載體，考查歸納推理的能力、空間想象能力、異面直線的定義等相關知識，屬于中檔題目．