Question

如圖， 已知橢圓的長(zhǎng)軸為，過(guò)點(diǎn)的直線與軸垂直．直線所經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)恰好是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn),且橢圓的離心率.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)是橢圓上異于、的任意一點(diǎn)，軸，為垂足，延長(zhǎng)到點(diǎn)使得，連結(jié)延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)，為的中點(diǎn)．試判斷直線與以為直徑的圓的位置關(guān)系．

Answer 1

解：（1）將整理得

       解方程組得直線所經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)（0，1），所以．

      由離心率得．

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．------------------------------------------6分

（2）設(shè)，則．

∵，∴．∴

∴點(diǎn)在以為圓心，2為半徑的的圓上．即點(diǎn)在以為直徑的圓上．

又，∴直線的方程為．

令，得．又，為的中點(diǎn)，∴．

∴，．

∴

．

∴．∴直線與圓相切．--------------------------------------------------------14分