Question

已知函數（a∈R）．
（Ⅰ）當時，討論f（x）的單調性；
（Ⅱ）設g（x）=x²-2bx+4．當時，若對任意x₁∈（0，2），存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂），求實數b取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）直接利用函數與導數的關系，求出函數的導數，再討論函數的單調性；
（Ⅱ）利用導數求出f（x）的最小值、利用二次函數知識或分離常數法求出g（x）在閉區間[1，2]上的最大值，然后解不等式求參數．
解答：解：（Ⅰ），
令h（x）=ax²-x+1-a（x＞0）
（1）當a=0時，h（x）=-x+1（x＞0），
當x∈（0，1），h（x）＞0，f′（x）＜0，函數f（x）單調遞減；
當x∈（1，+∞），h（x）＜0，f′（x）＞0，函數f（x）單調遞增．
（2）當a≠0時，由f′（x）=0，即ax²-x+1-a=0，解得．
當時x₁=x₂，h（x）≥0恒成立，此時f′（x）≤0，函數f（x）單調遞減；
當時，，x∈（0，1）時h（x）＞0，f′（x）＜0，函數f（x）單調遞減；
時，h（x）＜0，f′（x）＞0，函數f（x）單調遞增；
時，h（x）＞0，f′（x）＜0，函數f（x）單調遞減．
當a＜0時，當x∈（0，1），h（x）＞0，f′（x）＜0，函數f（x）單調遞減；
當x∈（1，+∞），h（x）＜0，f′（x）＞0，函數f（x）單調遞增．
綜上所述：當a≤0時，函數f（x）在（0，1）單調遞減，（1，+∞）單調遞增；
當時x₁=x₂，h（x）≥0恒成立，此時f′（x）≤0，函數f（x）在（0，+∞）單調遞減；
當時，函數f（x）在（0，1）單調遞減，單調遞增，單調遞減．

（Ⅱ）當時，f（x）在（0，1）上是減函數，在（1，2）上是增函數，所以對任意x₁∈（0，2），
有，
又已知存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂），所以，x₂∈[1，2]，（※）
又g（x）=（x-b）²+4-b²，x∈[1，2]
當b＜1時，g（x）_min=g（1）=5-2b＞0與（※）矛盾；
當b∈[1，2]時，g（x）_min=g（b）=4-b²≥0也與（※）矛盾；
當b＞2時，．
綜上，實數b的取值范圍是．
點評：本題將導數、二次函數、不等式知識有機的結合在一起，考查了利用導數研究函數的單調性、利用導數求函數的最值以及二次函數的最值問題，考查了同學們分類討論的數學思想以及解不等式的能力；考查了學生綜合運用所學知識分析問題、解決問題的能力．