Question

已知函數f(x)=2sinxcosx+sin(2x+

π

2

)．
（1）若x∈R，求f（x）的最小正周期和單調遞增區間；
（2）設x∈[0， 

π

3

]，求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）利用兩角和的正弦函數把函數化簡為f（x）=

2

sin（2x+

π

4

），直接求出函數f（x）的最小正周期及單調區間；
（2）由 x∈[0， 

π

3

]，求出2x+

π

4

的范圍，進而求出正弦函數值的范圍，再由解析式求出函數值域．

解答：解：（1）f(x)=sin2x+cos2x=

2

sin(2x+

π

4

)
周期T=

2π

2

=π；
令2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤

π

2

+2kπ，得kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

所以，單調遞增區間為[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]，k∈Z
（2）若0≤x≤

π

3

，則

π

4

≤2x+

π

4

≤

11π

12

，sin

11π

12

=sin

π

12

=sin(

π

4

-

π

6

)=

6 - 2

4

＜sin

π

4

∴

6 - 2

4

≤sin(2x+

π

4

)≤1，

3 -1

2

≤

2

sin(2x+

π

4

)≤

2

即f（x）的值域為[

3 -1

2

， 

2

]

點評：本題的考點是正弦函數的單調性和求定區間上的值域，需要對解析式進行適當的化簡成正弦型的函數，再利用整體思想求解．