Question

正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O是AC，BD的交點(diǎn)，則C₁O與A₁D所成的角是（　　）

• A．60°
• B．90°
• C．arccos

  3

  3

• D．arccos

  3

  6

Answer 1

分析：不妨設(shè)正方體邊長(zhǎng)為2a，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD為x軸，AC為y軸，AA1為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則可求0C₁的一個(gè)方向向量=（a，a，2a），A₁D的一個(gè)方向向量=（2a，0，-2a），利用向量的數(shù)量積可以計(jì)算出這兩個(gè)方向向量的夾角的余弦值，從而可求兩直線夾角．

解答：解：不妨設(shè)正方體邊長(zhǎng)為2a
以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD為x軸，AC為y軸，AA1為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A₁（0，0，2a），O（a，a，0），C₁（2a，2a，2a），D（2a，0，0）；
0C₁的一個(gè)方向向量=（a，a，2a），A₁D的一個(gè)方向向量=（2a，0，-2a）
利用向量的數(shù)量積可以計(jì)算出這兩個(gè)方向向量的夾角的余弦值=-

3

6

，這兩個(gè)方向向量的夾角與直線夾角相等或互補(bǔ)，
∵兩直線夾角為（0°，90°]，
∴兩直線夾角的余弦值=

3

6

，
因此，C₁O與A₁D所成的角是 arccos

3

6

故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題以正方體為載體，考查線線角，關(guān)鍵是構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系．