Question

已知函數f（x）=xlnx．
（I）求函數f（x）的單調遞減區間；
（II）若f（x）≥-x²+ax-6在（0，+∞）上恒成立，求實數a的取值范圍；
（III）過點A（-e^-2，0）作函數y=f（x）圖象的切線，求切線方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f′（x）=lnx+1，知f′（x）＜0得lnx＜-1，由此能求出函數f（x）的單調遞減區間．
（Ⅱ）由f（x）≥-x²+ax-6，得a≤lnx+x+

6

x

，設g(x)=lnx+x+

6

x

，則g′(x)=

x2+x-6

x2

=

(x+3)(x-2)

x2

，由此能求出g（x）最小值g（2）=5+ln2，從而能求出實數a的取值范圍．
（Ⅲ）設切點T（x₀，y₀）則k_AT=f′（x₀），故

x0lnx0

x0+ 1 e2

=lnx0+1，由此能求出切線方程．

解答：解：（Ⅰ）∵f′（x）=lnx+1
∴f′（x）＜0得lnx＜-1 （2分）
∴0＜x＜

1

e

∴函數f（x）的單調遞減區間是(0，

1

e

)； （4分）
（Ⅱ）∵f（x）≥-x²+ax-6即a≤lnx+x+

6

x

設g(x)=lnx+x+

6

x

，
則g′(x)=

x2+x-6

x2

=

(x+3)(x-2)

x2

 （7分）
當x∈（0，2）時g′（x）＜0，函數g（x）單調遞減；
當x∈（2，+∞）時g′（x）＞0，函數g（x）單調遞增；
∴g（x）最小值g（2）=5+ln2，
∴實數a的取值范圍是（-∞，5+ln2]； （10分）
（Ⅲ）設切點T（x₀，y₀）則k_AT=f′（x₀），
∴

x0lnx0

x0+ 1 e2

=lnx0+1即e²x₀+lnx₀+1=0
設h（x）=e²x+lnx+1，當x＞0時h′（x）＞0，
∴h（x）是單調遞增函數 （13分）
∴h（x）=0最多只有一個根，
又h(

1

e2

)=e2×

1

e2

+ln

1

e2

+1=0，
∴x0=

1

e2

由f'（x₀）=-1得切線方程是x+y+

1

e2

=0． （16分）

點評：本題考查利用導數求閉區間上函數的最值的靈活運用，考查化歸與轉化、分類與整合的數學思想，培養學生的抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力和創新意識．