Question

已知函數f（x）=mx³+nx²（m，n∈R，m≠0），函數y=f（x）的圖象在點（2，f（2））處切線與x軸平行，
（1）用關于m的代數式表示n；
（2）求函數f（x）的單調遞增區間；
（3）若x₁＞2，記函數y=f（x）的圖象在點M（x₁，f（x₁））處的切線l與x軸的交點為（x₂，0），證明：x₂≥3．

Answer 1

分析：（1）由f（x）的解析式，求出f（x）的導函數，由切線與x軸平行，得到切線斜率為0，故把x=2代入導函數求出的導函數值為0，列出關于m與n的關系式，用關于m的代數式表示出n即可；
（2）把（1）表示出的n代入f（x）和導函數中，令導函數大于0，分m大于0和小于0兩種情況考慮，分別求出不等式的解集即可得到函數的單調遞增區間；
（3）把x=x₁代入（1）求出的導函數，表示出切線l的斜率，代入f（x）求出切點的縱坐標，確定出切點坐標，根據切點坐標和斜率寫出切線l的方程，然后令y=0表示出x₂，利用作差法，根據x₁＞2，及完全平方式大于等于0得到x₂-3大于等于0，變形即可得證．

解答：解：（1）∵f（x）=m³x+nx²，
∴f′（x）=3mx²+2nx．
由題意得：f′（2）=0，即3m+n=0，
∴n=-3m；（4分）
（2）∵n=-3m，
∴f（x）=mx³-3mx²，f′（x）=3mx²-6mx，
令f′（x）＞0，
得3mx²-6mx＞0，
當m＞0時，∴x＜0或x＞2，
∴函數f（x）的單調遞增區間為（-∞，0），（2，+∞），
當m＜0時，函數f（x）的單調遞增區間為（0，2）；（8分）
（3）由（1）得：f（x）=mx³-3mx²，f′（x）=3mx²-6mx，
l：y-（mx₁³-3mx₁²）=（3mx₁²-6mx₁）（x-x₁），
令y=0，由m≠0，x₁＞2，則x2=

2 x 2 1 -3x1

3(x1-2)

，
所以x2-3=

2 x 2 1 -3x1

3(x1-2)

-3=

2 x 2 1 -12x1+18

3(x1-2)

=

2(x1-3)2

3(x1-2)

，
∵x₁＞2．（x₁-3）²≥0，
∴x₂-3≥0，即x₂≥3．（12分）

點評：此題考查了利用導數研究曲線上某點的切線方程，以及利用導數研究函數的單調性．要求學生掌握切點橫坐標對應的導函數值為切線方程的斜率，導函數值大于0時x的范圍為函數的遞增區間，導函數值小于0時x的范圍為函數的遞減區間，熟練運用這些性質是解本題的關鍵．