Question

【題目】等腰直角△內接于拋物線()，其中為拋物線的頂點，，△的面積是16.

（1）求拋物線的方程；

（2）拋物線的焦點為，過的直線交拋物線于兩點，交軸于點，若，，證明：是一個定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）設點，，由拋物線方程、兩點之間距離公式可得，結合面積即可得點A坐標，代入即可得解；

（2）設直線，點，，由平面向量的知識可得，聯立方程組，結合韋達定理即可得證.

（1）設點，，則，，

因為△為等腰直角三角形，，所以，

所以，化簡得，

由，，可得，

所以即，所以點A、點B關于x軸對稱，

又△的面積是16，所以，

不妨設點，所以，解得，

所以拋物線的方程為；

（2）證明：由題意可知點，直線的斜率存在且不為0，

設直線，點，，

所以點，，，，

，

因為，，

所以，，

所以，

由消去x可得，，

所以，，

所以，

所以是一個定值, 且.