Question

對任意正整數x，y都有f（x+y）=f（x）•f（y），且f（1）=，則[f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）]=（ ）
A．
B．1
C．-
D．

Answer 1

【答案】分析：先由f （x+y）=f （x）•f （y）得f （2x）=f （x）²⇒=f（x）．以及 =，兩個結論相結合可得 =f（n）=ⁿ，把問題轉化為求等比數列的和，再代入求和公式即可．
解答：解：由f（x+y）=f（x）•f（y）得 f（2x）=f（x）²⇒=f（x）．
∵f （x+y）=f （x）•f （y）⇒f （x+1）=f （x）•f （2）=2f（x）⇒=，
所以數列{f（n）}是以為首項，為公比的等比數列，故f（n）=×^n-1=（）ⁿ．
∴=f（n）=（）ⁿ．
則 f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）]=（）¹+（）²+（）³+…+ⁿ==1-（）ⁿ．
[f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）]=[1-（）ⁿ]=1
故選B．
點評：本題主要考查抽象函數及其應用．抽象函數是相對于給出具體解析式的函數來說的，它雖然沒有具體的表達式，但是有一定的對應法則，滿足一定的性質，這種對應法則及函數的相應的性質是解決問題的關鍵．