Question

在一個圓錐體的培養房內培養了40只蜜蜂，準備進行某種實驗，過圓錐高的中點有一個不計厚度且平行于圓錐底面的平面把培養房分成兩個實驗區，其中小錐體叫第一實驗區，圓臺體叫第二實驗區，且兩個實驗區是互通的．假設蜜蜂落入培養房內任何位置是等可能的，且蜜蜂落入哪個位置相互之間是不受影響的．
（1）求蜜蜂落入第二實驗區的概率；
（2）若其中有10只蜜蜂被染上了紅色，求恰有一只紅色蜜蜂落入第二實驗區的概率；
（3）記X為落入第一實驗區的蜜蜂數，求隨機變量X的數學期望EX．

Answer 1

分析：（1）由題意知蜜蜂落入培養房內任何位置是等可能的，且蜜蜂落入哪個位置相互之間是不受影響的，可以得到這是一個等可能事件的概率，做出條件中所給的兩個幾何體的體積，求比值得到結果．
（2）本題符合獨立重復試驗，實驗一共復數10次，恰好有一次發生，發生的概率根據上一問做出的結果，代入公式得到概率．
（3）因為蜜蜂落入培養房內任何位置是等可能的，且蜜蜂落入哪個位置相互之間是不受影響的，得到變量X滿足二項分布，根據二項分布的期望公式得到結果．

解答：解：（1）由題意知蜜蜂落入培養房內任何位置是等可能的，
且蜜蜂落入哪個位置相互之間是不受影響的，
可以得到這是一個等可能事件的概率，
記“蜜蜂落入第一實驗區”為事件A，“蜜蜂落入第二實驗區”為事件B．
依題意，P(A)=

V小椎體

V圓椎體

=

1 3 • 1 4 •S圓錐底面• 1 2 h圓錐

1 3 •S圓錐底面h圓錐

=

1

8

∴P(B)=1-P(A)=

7

8

∴蜜蜂落入第二實驗區的概率為

7

8

．
（2）本題符合獨立重復試驗，
記“恰有一只紅色蜜蜂落入第二實驗區”為事件C，則
P(C)=

C

1 10

×

7

8

×(

1

8

)9=

70

810

=

70

230

∴恰有一只紅色蜜蜂落入第二實驗區的概率

70

230

．
（3）因為蜜蜂落入培養房內任何位置是等可能的，
且蜜蜂落入哪個位置相互之間是不受影響的，
∴變量X滿足二項分布，即X～(40，

1

8

)
∴隨機變量X的數學期望EX=40×

1

8

=5

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，考查等可能事件的概率，考查獨立重復試驗，這種類型是近幾年高考題中經常出現的，大型考試中理科考試必出的一道問題．