Question

問題“求方程3^x+4^x=5^x的解”有如下的思路：方程3^x+4^x=5^x可變為(

3

5

)x+(

4

5

)x=1，考察函數f（x）=(

3

5

)x+(

4

5

)x可知，f（2）=1，且函數f（x）在R上單調遞減，∴原方程有唯一解x=2．仿照此解法可得到不等式：x⁶-（2x+3）＞（2x+3）³-x²的解是

{x|x＜-1或x＞3}

．

Answer 1

分析：把給出的不等式變形為x⁶+x²＞（2x+3）³+（2x+3），然后引入函數f（x）=x³+x，由函數的單調性把不等式轉化為較為簡單的不等式，求解不等式得答案．

解答：解：把不等式：x⁶-（2x+3）＞（2x+3）³-x²變形，
得到x⁶+x²＞（2x+3）³+（2x+3）．
考察函數f（x）=x³+x，函數f（x）在R上為增函數，
故f（u）＞f（v）?u＞v．
不等式x⁶+x²＞（2x+3）³+（2x+3）中的x²看作u，2x+3看作v．
則有x²＞2x+3，解得x＜-1或x＞3．
故答案為x＜-1或x＞3．

點評：本題考查了簡單的合情推理，解答的關鍵是把復雜的高次不等式通過合理變化，轉化為較為簡單的不等式，這里構造函數且利用函數的單調性進行轉化是解答該題的著眼點，此題是中檔題．