Question

設f（x）是定義在R上的增函數，且對于任意的x都有f（1-x）+f（1+x）=0恒成立．如果實數m、n滿足不等式組，那么m²+n²的取值范圍是（ ）
A．（3，7）
B．（9，25）
C．（13，49）
D．（9，49）

Answer 1

【答案】分析：根據對于任意的x都有f（1-x）+f（1+x）=0恒成立，不等式可化為f（m²-6m+23）＜f（2-n²+8n），利用f（x）是定義在R上的增函數，可得∴（m-3）²+（n-4）²＜4，確定（m-3）²+（n-4）²=4（m＞3）內的點到原點距離的取值范圍，即可求得m²+n² 的取值范圍．
解答：解：∵對于任意的x都有f（1-x）+f（1+x）=0恒成立
∴f（1-x）=-f（1+x）
∵f（m²-6m+23）+f（n²-8n）＜0，
∴f（m²-6m+23）＜-f[（1+（n²-8n-1）]，
∴f（m²-6m+23）＜f[（1-（n²-8n-1）]=f（2-n²+8n）
∵f（x）是定義在R上的增函數，
∴m²-6m+23＜2-n²+8n
∴（m-3）²+（n-4）²＜4
∵（m-3）²+（n-4）²=4的圓心坐標為：（3，4），半徑為2
∴（m-3）²+（n-4）²=4（m＞3）內的點到原點距離的取值范圍為（，5+2），即（，7）
∵m²+n² 表示（m-3）²+（n-4）²=4內的點到原點距離的平方
∴m²+n² 的取值范圍是（13，49）．
故選C．
點評：本題考查函數的奇偶性與單調性，考查不等式的含義，解題的關鍵是確定半圓內的點到原點距離的取值范圍．