Question

設定義在R上的函數f(x)滿足：①對任意的實數x，y∈R，有f(x+y)＝f(x)·f(y)；②當x＞0時，f(x)＞1．數列{a_n}滿足a₁＝f(0)，且f()＝(n∈N*)．(1)求f(0)，判斷并證明函數f(x)的單調性；

(2)求數列{a_n}的通項a_n的表達式；

(3)令b_n是最接近，

設T_n＝…+．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)令y＝0，x＝1得:f(1)＝f(1)·f(0)f(1)(1－f(0))＝0， 　　∵f(1)≠0，∴f(0)＝1 　　∵x0時，f(x)＞1，而由點①可知:1＝f(0)＝f(－x+x)＝f(－x)·f(x)，∴f(x)＝ 　　∴x＜0時，0＜f(x)＜1，∴x∈R時，0＜f(x) 　　設x1＜x2，由f(x2)＝f[x1+(x2－x1)]＝f(x1)·f(x2－x1)，而x1－x2＞0，∴f(x2－x1)＞1 　　∴f(x2)＝f[x1+(x2－x1)]＝f(x1)·f(x2－x1)＞f(x1)，∴f(x)在R上是單調遞增函數. 　　(Ⅱ)因為數列{an}滿足a1＝f(0)＝1，且f()＝ 　　由(Ⅰ)可得f()＝f(an+1)，即＝an+1，∴－an＝1(n∈N*)，∴an＝n(n∈N*) 　　(Ⅲ)令bn＝k(k∈N*)是最接近的正整數， 　　則k－ 　　由于k，n都是正整數，∴k2－k+1≤n≤k2+k 　　所以滿足bn＝k的正整數n有k2+k－(k2－k+1)+1＝2k個；312＜1000＜322，322－32+1＝993 　　T1000＝＝ 　　＝＝64+