Question

在正三棱錐A-BCD中，E，F分別是AB，BC的中點，EF⊥DE且BC=，若此正三棱錐的四個頂點都在球O的面上，則球O的體積是（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：先證明三棱錐的三個頂角都是90°，然后根據底面邊長為，各側面均為直角三角形的正三棱錐可以看作是正方體的一個角，故此正三棱錐的外接求即此正方體的外接球，由此求出正方體的體對角線即可得到球的直徑，則體積易求．
解答：解：∵EF∥AC，EF⊥DE
∴AC⊥DE
∵AC⊥BD（正三棱錐性質）
∴AC⊥平面ABD
所以正三棱錐A-BCD是正方體的一個角，AB=1，
從而得此正三棱錐的外接球即是相應的正方體的外接球，此正方體的面對角線為，邊長為1．
正方體的體對角線是=．
故外接球的直徑是，半徑是．
故其體積是==．
故選B．
點評：本題考查椎體體積計算公式，本題考查球內接多面體，解題的關鍵是找到球的直徑與其內接多面體的量之間的關系，由此關系求出球的半徑進而得到其體積．考查空間想象能力，是基礎題．