Question

（2013•楚雄州模擬）已知函數f（x）=ax+lnx，其中a為常數，設e為自然對數的底數．
（1）當a=-1時，求f（x）的最大值；
（2）若f（x）在區間（0，e]上的最大值為-3，求a的值；
（3）當a=-1時，試推斷方程|f（x）|=

lnx

x

+

1

2

是否有實數解．

Answer 1

分析：（1）在定義域（0，+∞）內對函數f（x）求導，求其極大值，若是唯一極值點，則極大值即為最大值．
（2）在定義域（0，+∞）內對函數f（x）求導，對a進行分類討論并判斷其單調性，根據f（x）在區間（0，e]上的單調性求其最大值，并判斷其最大值是否為-3，若是就可求出相應的最大值．
（3）根據（1）可求出|f（x）|的值域，通過求導可求出函數g（x）═

lnx

x

+

1

2

的值域，通過比較上述兩個函數的值域，就可判斷出方程|f（x）|=

lnx

x

+

1

2

是否有實數解．

解答：解：（1）易知f（x）定義域為（0，+∞），
當a=-1時，f（x）=-x+lnx，f′（x）=-1+

1

x

=

1-x

x

，令f^′（x）=0，得x=1．
當0＜x＜1時，f′（x）＞0；當x＞1時，f′（x）＜0．
∴f（x）在（0，1）上是增函數，在（1，+∞）上是減函數．
f（x）_max=f（1）=-1．
∴函數f（x）在（0，+∞）上的最大值為-1．
（2）∵f′（x）=a+

1

x

，x∈（0，e]，

1

x

∈[

1

e

，+∞)．
①若a≥-

1

e

，則f′（x）≥0，從而f（x）在（0，e]上增函數，
∴f（x）_max=f（e）=ae+1≥0，不合題意．
②若a＜-

1

e

，則由f′（x）＞0⇒a+

1

x

＞0，即0＜x＜-

1

a

由f^′（x）＜0⇒a+

1

x

＜0，即-

1

a

＜x≤e．
從而f（x）在(0，-

1

a

)上增函數，在(-

1

a

，e)為減函數
∴f（x）_max=f(-

1

a

)=-1+ln(-

1

a

)
令-1+ln(-

1

a

)=-3，則ln(-

1

a

)=-2
∴-

1

a

=e^-2，即a=-e²．∵-e²＜-

1

e

，∴a=-e²為所求．
（3）由（1）知當a=-1時f（x）_max=f（1）=-1，
∴|f（x）|≥1．
又令g（x）=

lnx

x

+

1

2

，g′（x）=

1-lnx

x2

，令g′（x）=0，得x=e，
當0＜x＜e時，g′（x）＞0，g（x）  在（0，e）單調遞增；
當x＞e時，g′（x）＜0，g（x） 在（e，+∞）單調遞減．
∴g（x）_max=g（e）=

1

e

+

1

2

＜1，∴g（x）＜1，
∴|f（x）|＞g（x），即|f（x）|＞

lnx

x

+

1

2

．
∴方程|f（x）|=

lnx

x

+

1

2

沒有實數解．

點評：本題先通過對函數求導，求其極值，進而在求其最值及值域，用到分類討論的思想方法．