Question

某地區現有居民住房的總面積am²，其中需要拆除的舊住房面積占了住房總面積的50%，當地政府決定，在每年拆除一定數量舊房的情況 下，仍以10%的住房增長率建設新房．
（Ⅰ）若10年后該地區的住房總面積恰好比目前翻一翻，那么每年應拆除的舊住房總面積x是多少？（計算參考數據1.1¹⁰≈2.6）
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下過10年還未拆除的舊住房總面積占當時住房總面積的百分比是多少（保留小數點后面1位）
（重點校做，普通校選做）

Answer 1

解：（I）設每年應拆除舊房面積為xm²，一年后住房面積為：a-x+10%a=1.1a-x
二年后住房面積為：（1.1a-x）（10%+1）-x=1.1²a-（1.1+1）x
三年后住房面積為：[1.1²a-（1.1+1）x]×（1+10%）-x=1.1³a-（1.1²+1.1+1）x
…
10年后住房總面積為：1.1¹⁰a-（1.1⁹+1.1⁸+…+1）x
由題知1.1¹⁰a-（1.1⁹+1.1⁸+…+1）x=2a
即2.6a-2a=（1+1.1+…+1.1⁹）x
∴
即
∴x=
即每年應拆除的舊住房面積為m²
（II） ≈6.3%
∴在（Ⅰ）的條件下過10年還未拆除的舊住房總面積占當時住房總面積的百分比是6.3%
分析：（I）利用一年后、二年后找規律得到10年后的住房面積，然后根據10年后該地區的住房總面積恰好比目前翻一翻建立等式，解之即可；
（II）先求出在（Ⅰ）的條件下過10年還未拆除的舊住房總面積，以及當時住房總面積，兩值相除即可求出所求．
點評：本題主要考查了數列的應用題，同時考查數列性質的綜合運用，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件．