Question

已知橢圓C：的離心率為，過坐標原點O且斜率為的直線l與C相交于A，B，|AB|=．
（1）求a，b的值；
（2）若動圓（x-m）²+y²=1與橢圓C和直線l都沒有公共點，試求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）依題意，l：，設A（2t，t）、B（-2t，t）（t＞0），由|AB|=得20t²=40，，由此入手可解得a=4，b=2．
（2）由題意知3x²-8mx+4m²+12=0，動圓與橢圓沒有公共點，由此知|m|＜3或|m|＞5．再由動圓（x-m）²+y²=1與直線沒有公共點．由此可得m的取值范圍．
解答：解：（1）依題意，l：（1分）
不妨設設A（2t，t）、B（-2t，-t）（t＞0）（2分）
由|AB|=得20t²=40，（3分）
所以（（5分），）
解得a=4，b=2（6分）．
（2）由消去y得3x²-8mx+4m²+12=0（7分）
動圓與橢圓沒有公共點，當且僅當△=（-8m）²-4×3×（4m²+12）=16m²-144＜0或|m|＞5（9分）
解得|m|＜3或|m|＞5（10分）
動圓（x-m）²+y²=1與直線沒有公共點當且僅當，即|m|＞（12分）解或（13分）
得m的取值范圍為．（14分）
點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關系，解題時要認真審題，仔細解答．