Question

【題目】設x∈R，f（x）= ，若不等式f（x）+f（2x）≤k對于任意的x∈R恒成立，則實數k的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】k≥2
【解析】解：∵f（x）= ，
∴函數f（x）在區間（﹣∞，0]上為增函數，在區間[0，+∞）上為減函數，
且函數f（2x）在區間（﹣∞，0]上為增函數，在區間[0，+∞）上為減函數，
令F（x）=f（x）+f（2x），
根據函數單調性的性質可得F（x）=f（x）+f（2x）在區間（﹣∞，0]上為增函數，在區間[0，+∞）上為減函數，
故當x=0時，函數F（x）取最大值2，
若不等式f（x）+f（2x）≤k對于任意的x∈R恒成立，
則實數k的取值范圍是k≥2
所以答案是：k≥2
【考點精析】根據題目的已知條件，利用指數函數的單調性與特殊點的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握0<a<1時:在定義域上是單調減函數;a>1時:在定義域上是單調增函數．