Question

已知函數f（x）=ln（x+1）-．
（1）若函數f（x）在[0，+∞）內為增函數，求正實數a的取值范圍．
（2）當a=1時，求f（x）在[-，1]上的最大值和最小值；
（3）試利用（1）的結論，證明：對于大于1的任意正整數n，都有+++…+＜lnn．

Answer 1

【答案】分析：（1）求函數的導數，則導數f′（x）≥0對任意x∈[0，+∞）恒成立即可，分離參數即得a≥對任意x∈[0，+∞）恒成立，a≥（）_max（x∈[0，+∞））即可．
（2）a=1時，求f（x）的導數，再令導數等于0，得到的x的值為函數的極值點，在借助函數在[-，1]的單調性，判斷函數當x為何值時有最大值，何時有最小值．
（3）由（1）知，當a=1時，f（x）=ln（1+x）-在[0，+∞）上是增函數，則f（x）≥f（0），即ln（1+x）≥，x∈[0，+∞）成立．即ln＞，得證，或利用數學歸納法來證明也可．
解答：解：（1）∵f（x）=ln（x+1）-，∴f′（x）=（a＞0）．
∵函數f（x）在[0，+∞）內為增函數，∴f′（x）≥0對任意x∈[0，+∞）恒成立，
∴a（x+1）-1≥0對任意x∈[0，+∞）恒成立，即a≥對任意x∈[0，+∞）恒成立．
而當x∈[0，+∞）時，（）_max=1，∴a≥1．
（2）當a=1時，f′（x）=．∴當x∈[-，0）時，f′（x）＜0，f（x）在[-，0）上單調遞減，
當x∈（0，1]時，f′（x）＞0，f（x）在（0，1]上單調遞增，∴f（x）在[-，1]上有唯一極小值點，
故f（x）_min=f（0）=0．又f（-）=1+ln=1-ln2，f（1）=-+ln2，
f（-）-f（1）=-2ln2==∵e³＞16，
∴f（-）-f（1）＞0，即f（-）＞f（1）．∴f（x）在[-，1]上的最大值為f（-）=1-ln2．
綜上，函數f（x）在[-，1]上的最大值是1-ln2，最小值是 0．
（3）法一：用數學歸納法．
①當n=2時，要證＜ln2，只要證ln4＞1，顯然成立．
②假設當n=k時，不等式+++…+＜lnk（k＞1，k∈N^*）成立．
則當n=k+1時，+++…++＜lnk+．要證lnk+＜ln（k+1）成立，
只要證＜ln，即＜ln（1+）． 令=x＞0，則上式化為＜ln（1+x）（x＞0）．
只要證：ln（1+x）-＞0（*）．
由（1）知，當a=1時，f（x）=ln（1+x）-在[0，+∞）內是增函數，
故有f（x）≥f（0），即ln（1+x）≥x∈[0，+∞）成立，而（*）中x=（k＞1，k∈N^*），x＞0，
∴ln（1+x）-＞0 即（*）式成立．∴當n=k+1時，不等式成立．
由①②知對任意n＞1的正整數不等式都成立．
法二：由（1）知，當a=1時，f（x）=ln（1+x）-在[0，+∞）上是增函數，
故有f（x）≥f（0），即ln（1+x）≥，x∈[0，+∞）成立．
令x=（n∈N^*），則x＞0，∴有ln（1+x）＞，即ln＞．
由此得ln＞，ln＞，ln＞，…，ln＞，
則ln+ln+ln+…+ln＞+++…+，即得lnn＞+++…+．
故對大于1的任意正整數n．都有+++…+＜lnn．
點評：本題重點考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查函數的最值，考查大小比較，解題的關鍵是正確求出導函數，合理構建不等式，屬于中檔題．