Question

已知橢圓：，離心率為，焦點過的直線交橢圓于兩點，且的周長為4.

(Ⅰ)求橢圓方程;

(Ⅱ) 直線與y軸交于點P(0,m)(m0),與橢圓C交于相異兩點A,B且.若

Answer 1

(Ⅰ) ;(Ⅱ)

試題分析：（1）設C：（A＞b＞0），由條件知A-C=,由此能導出C的方程．(Ⅱ)由題意可知λ=3或O點與P點重合．當O點與P點重合時，m=0．當λ=3時，直線l與y軸相交，設l與橢圓C交點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），得再由根的判別式和韋達定理進行求解．

試題解析：（1）設C：（A＞b＞0），設C＞0，，由條件知A-C=，，∴A=1，b=C=,故C的方程為：;

(Ⅱ)設與橢圓C的交點為A(，)，B(，)。將y=kx+m代入

得,所以①,

.因為,所以,

消去得,所以,

即,當時,

所以,由①得,解得