Question

已知函數f（x）=x³+ax²+3bx+c（b≠0），且g（x）=f（x）-2是奇函數．
（Ⅰ）求a，c的值；
（Ⅱ）求函數f（x）的單調區間．

Answer 1

【答案】分析：（1）先利用奇函數的定義g（-x）=-g（x）求出a，c的值；
（2）求導數令其為0，判斷根左右兩邊的符號，求出函數的單調性．注意對參數的討論．
解答：解：（Ⅰ）因為函數g（x）=f（x）-2為奇函數，
所以，對任意的x∈R，都有g（-x）=-g（x），即f（-x）-2=-f（x）+2．
又f（x）=x³+ax²+3bx+c
所以-x³+ax²-3bx+c-2=-x³-ax²-3bx-c+2．
所以
解得a=0，c=2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=x³+3bx+2．
所以f'（x）=3x²+3b（b≠0）．
當b＜0時，由f'（x）=0得．x變化時，f'（x）的變化情況如下：
，時f′（x）＞0
，時f′（x）＜0
，時f′（x）＞0
所以，當b＜0時，函數f（x）在上單調遞增，
在上單調遞減，在上單調遞增．
當b＞0時，f'（x）＞0，所以函數f（x）在（-∞，+∞）上單調遞增．
點評：本題考查函數的奇偶性，利用導數求函數的單調區間的方法．注意：含參數的函數求單調性時一般需要討論．