Question

對于具有相同定義域D的函數f（x）和g（x），若存在函數h（x）=kx+b（k，b為常數），對任給的正數m，存在相應的x₀∈D，使得當x∈D且x＞x₀時，總有

0＜f(x)-h(x)＜m 0＜h(x)-g(x)＜m

，則稱直線l：y=kx+b為曲線y=f（x）和y=g（x）的“分漸近線”．給出定義域均為D={x|x＞1}的四組函數如下：
①f（x）=x²，g（x）=

x

； 
②f（x）10^-x+2，g（x）=

2x-3

x

；
③f（x）=

x2+1

x

，g（x）=

xlnx+1

lnx

；  
④f（x）=

2x2

x+1

，g（x）=2（x-1-e^-x）
其中，曲線y=f（x）和y=g（x）存在“分漸近線”的是

②④

．

Answer 1

分析：題目給出了具有相同定義域D的函數f（x）和g（x），若存在函數h（x）=kx+b（k，b為常數），對任給的正數m，存在相應的x₀∈D，使得當x∈D且x＞x₀時，總有

0＜f(x)-h(x)＜m 0＜h(x)-g(x)＜m

，則稱直線l：y=kx+b為曲線y=f（x）和y=g（x）的“分漸近線”．當給定的正數m無限小的時候，函數f（x）的圖象在函數h（x）=kx+b的圖象的上方且無限靠近直線，函數g（x）的圖象在函數h（x）=kx+b的圖象的下方且無限靠近直線，說明f（x）和g（x）存在分漸近線的充要條件是x→∞時，f（x）-g（x）→0．對于第一組函數，通過構造輔助函數F（x）=f（x）-g（x）=x2-

x

，對該函數求導后說明函數F（x）在（1，+∞）上是增函數，不滿足x→∞時，f（x）-g（x）→0；對于第二組函數，直接作差后可看出滿足x→∞時，f（x）-g（x）→0；對于第三組函數，作差后得到差式為

1

x

-

1

lnx

，結合函數y=x和y=lnx圖象的上升的快慢，說明當x＞1時，為

1

x

-

1

lnx

為負值且逐漸減小；第四組函數作差后，可直接看出滿足x→∞時，f（x）-g（x）→0．由以上分析可以得到正確答案．

解答：解：f（x）和g（x）存在分漸近線的充要條件是x→∞時，f（x）-g（x）→0．
對于①f（x）=x²，g（x）=

x

，當x＞1時，令F（x）=f（x）-g（x）=x2-

x

由于F′(x)=2x-

1

2 x

＞0，所以h（x）為增函數，不符合x→∞時，f（x）-g（x）→0，所以①不存在；
對于②f（x）=10^-x+2，g（x）=

2x-3

x

f（x）-g（x）=10-x+2-

2x-3

x

=(

1

10

)x+

3

x

，
因為當x＞1且x→∞時，f（x）-g（x）→0，所以存在分漸近線；
對于③f（x）=

x2+1

x

，g（x）=

xlnx+1

lnx

，
f（x）-g（x）=

x2+1

x

-

xlnx+1

lnx

=x+

1

x

-x-

1

lnx

=

1

x

-

1

lnx

當x＞1且x→∞時，

1

x

與

1

lnx

均單調遞減，但

1

x

的遞減速度比

1

lnx

快，
所以當x→∞時f（x）-g（x）會越來越小，不會趨近于0，
所以不存在分漸近線；
對于④f（x）=

2x2

x+1

，g（x）=2（x-1-e^-x），當x→∞時，
f（x）-g（x）=

2x2

x+1

-2x+2+2e-x
=

2x2-2x2-2x+2x+2

x+1

+2e-x
=

2

x+1

+

2

ex

→0，
因此存在分漸近線．
故存在分漸近線的是②④．
故答案為②④．

點評：本題從大學數列極限定義的角度出發，仿造構造了分漸近線函數，目的是考查學生分析問題、解決問題的能力，考生需要抓住本質：存在分漸近線的充要條件是x→∞時，f（x）-g（x）→0進行作答，是一道好題，思維靈活，要透過現象看本質．