Question

已知函數f（x）=x³+3ax-1，g（x）=f′(x）-ax-5，其中f′（x）是f（x）的導函數.

（1）對滿足-1≤a≤1的一切a的值，都有g（x）＜0，求實數x的取值范圍；

（2）設a=-m²，當實數m在什么范圍內變化時，函數y=f（x）的圖象與直線y=3只有一個公共點.

Answer 1

解:（1）由題意g（x）=3x²-ax+3a-5，

令φ（a）=（3-x）a+3x²-5，-1≤a≤1.

對-1≤a≤1，恒有g（x）＜0，即φ（a）＜0.

∴.

解得-＜x＜1.

故x∈（-，1）時，對滿足-1≤a≤1的一切a的值，都有g（x）＜0.

（2）f′（x）=3x²-3m².

①當m=0時，f（x）=x³-1的圖象與直線y=3只有一個公共點.

②當m≠0時，列表：

X	（-∞，-|m|）	-|m|	（-|m|，|m|）	|m|	（|m|，+∞）
f′(x)	+	0	-	0	+
f(x)		極大		極小

∴f（x）_極小=f（|m|）=2m²|m|-1＜-1.

又∵f（x）的值域是R，且在（|m|，+∞）上單調遞增，

∴當x＞|m|時函數y=f（x）的圖象與直線y=3只有一個公共點.

當x＜|m|時，恒有f（x）≤f（-|m|），

由題意得f（-|m|）＜3，

即2m²|m|-1=2|m|³-1＜3，

解得m∈（-，0）∪（0，）.

綜上，m的取值范圍是（-，）.