Question

若f（x）=x²-2x+2，當x∈[t，t+1]時的最小值為g（t），并求函數g（t）當t∈[-3，-2]時的最值．

Answer 1

分析：主要是分三種情況（區間在對稱軸的左邊、右邊、之間）討論可得二次函數的最小值即得g（t）的函數表達式為分段函數，再對分段函數在[-3，-2]求出最值即可得．

解答：解：f（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1
（1）當t+1≤1，即t≤0時，f（x）在[t，t+1]上單調遞減，
∴g（t）=f（t+1）=（t+1）²-2（t+1）+2=t²+1    …3分
（2）當t＜1＜t+1，即0＜t＜1時，g（t）=f（1）=1     …5分
（3）當t≥1時，f（x）在[t，t+1]上單調遞增，
∴g（t）=f（t）=t²-2t+2     …8分
綜上所述，g(t)=

t2+1 (t≤0) 1 (0＜t＜1) t2-2t+2 (t≥1)

    …10分
當t∈（-∞，0]時，g（t）=t²+1為減函數，
∴在[-3，-2]上，g（t）=t²+1也為減函數
∴g（t）_min=g（-2）=5，
g（t）_max=g（-3）=10．   …14分．

點評：本題考點是二次函數的圖象，考查通過二次函數的圖象求二次函數在閉區間上的最值，求解本題主要依據函數的單調性，要根據二次函數的圖象判斷出所研究區間的單調性，確定最值在那個位置取到，再求出最值，本題中所給的區間是一個不定的區間，故解題時要根據區間與對稱軸的位置進行分類討論，主要是分三種情況（區間在對稱軸的左邊、右邊、之間），解題時注意總結分類討論思想在求解本題中的作用．屬于中檔題．