Question

已知函數f（x）=2^x+k•2^-x（k∈R）．
（1）若函數f（x）為奇函數，求k的值；
（2）若函數f（x）在（-∞，2]上為減函數，求k的取值范圍．

Answer 1

考點：函數奇偶性的性質,函數單調性的性質

專題：函數的性質及應用

分析：（1）根據奇函數的概念，f（x）+f（-x）=0，解答即可；
（2）先討論K的取值范圍，再求取值范圍

解答： 解：（1）f（x）+f（-x）=（k+1）（2^x+2^-x）=0對一切的x∈R成立，
所以k=-1．

（2）若k≤0，則函數f（x）在（-∞，2]單調遞增（舍），
當k＞0時，令t=2^x∈（0，4]，
則函數g(t)=t+

k

t

在（0，4]上單調遞減，
所以

k

≥4，
即k≥16．

點評：本題主要考查奇函數的性質，單調性的定義．