Question

雙曲線的左、右焦點分別為F₁、F₂離心率為e．過F₂的直線與雙曲線的右支交于A、B兩點，若△F₁AB是以A為直角頂點的等腰直角三角形，則e²的值是（ ）
A．1+2
B．3+2
C．4-2
D．5-2

Answer 1

【答案】分析：設|AF₁|=|AB|=m，計算出|AF₂|=（1-）m，再利用勾股定理，即可建立a，c的關系，從而求出e²的值．
解答：解：設|AF₁|=|AB|=m，則|BF₁|=m，|AF₂|=m-2a，|BF₂|=m-2a，
∵|AB|=|AF₂|+|BF₂|=m，
∴m-2a+m-2a=m，
∴4a=m，∴|AF₂|=（1-）m，
∵△AF₁F₂為Rt三角形，∴|F₁F₂|²=|AF₁|²+|AF₂|²
∴4c²=（-）m²，
∵4a=m
∴4c²=（-）×8a²，
∴e²=5-2
故選D．
點評：本題考查雙曲線的標準方程與性質，考查雙曲線的定義，解題的關鍵是確定|AF₂|，從而利用勾股定理求解．