Question

設函數f（x）=2cos²x+sin2x．
（1）求函數f（x）的最小正周期和單調遞增區間；
（2）當x∈[]時，求f（x）的值域．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用兩角和差的正弦公式、二倍角公式化簡函數f（x）的解析式為 2sin（2x+）+1，由此求得 函數f（x）的最小正周期，再令 2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得x的范圍，
即可得到函數的單調遞增區間．
（Ⅱ）由 x∈[- ]求得2x+的范圍，可得sin（2x+）的范圍，從而求得f（x）的值域．
解答：解：（1）函數f（x）=2cos²x+sin2x=cos2x+sin2x+1=2sin（2x+）+1，
∴函數f（x）的最小正周期為 =π．
令 2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈z，解得 kπ-≤x≤kπ+，k∈z．
所以函數的單調遞增區間是[kπ-，kπ+]k∈z．…（8分）
（Ⅱ）當 x∈[- ]時，-≤2x+≤，
∴-≤sin（2x+）≤1，
∴f（x）的值域為[1-，3]．…（12分）
點評：本題主要考查兩角和差的正弦公式、二倍角公式的應用，正弦函數的定義域和值域，屬于中檔題．