Question

如果關于x的方程ax+

1

x2

=3在區間（0，+∞）上有且僅有一個解，那么實數a的取值范圍為

 

．

Answer 1

分析：由函數的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），故我們可將關于x的方程 ax+

1

x2

=3有且僅有一個正實數解，轉化為方程
a=-

1

x3

+

3

x

有且僅有一個正實數解，討論出函數的單調性后，同一坐標系內作出圖象，即可得到本題的答案．

解答：解：由函數解析式可得：x≠0，如果關于x的方程 ax+

1

x2

=3有且僅有一個正實數解，
即方程ax³-3x²+1=0有且僅有一個正實數解，
即方程a=-

1

x3

+

3

x

有且僅有一個正實數解
討論函數y=-

1

x3

+

3

x

的單調性，得（0，1）上函數為增函數，（1，+∞）上函數為減函數且函數值大于0
作出函數y=-

1

x3

+

3

x

的圖象與直線y=a，如圖所示

根據圖象可得：當a≤0或a=2時在（0，+∞）上有且僅有一個交點．
故答案為：a≤0或a=2

點評：本題考查的知識點是根的存在性及根的個數判斷，其中根據函數的定義域，將分式方程根的個數問題轉化為整式方程根的個數問題是解答本題的關鍵．