Question

用向量方法可以證明：若P為正三角形內(nèi)切圓上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離的平方和為定值．請(qǐng)你針對(duì)這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行研究，寫出一個(gè)推廣后的正確命題：

①②③④

．
①若P為正三角形外接圓上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離的平方和為定值．
②若正三角形A₁A₂A₃外接圓的圓心為O，半徑為R，P為平面上任意一點(diǎn)，則|PA1|2+|PA2|2+|PA3|2=3|PO|²+3R²．
③若P為正多邊形內(nèi)切圓上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到各個(gè)頂點(diǎn)距離的平方和為定值．
④若P為正多邊形外接圓上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到各個(gè)頂點(diǎn)距離的平方和為定值．

Answer 1

分析：先理解用向量法證明命題的證明過(guò)程，然后根據(jù)類比推理，可以得到推廣后的命題．

解答：解：根據(jù) 正三角形的性質(zhì)可知，在正三角形內(nèi)的任何一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離的平方和為定值．
所以根據(jù)類比推理可知：
①若P為正三角形外接圓上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離的平方和為定值，正確．
②若正三角形A₁A₂A₃外接圓的圓心為O，半徑為R，P為平面上任意一點(diǎn)，則|PA1|2+|PA2|2+|PA3|2=3|PO|²+3R²，正確．
③若P為正多邊形內(nèi)切圓上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到各個(gè)頂點(diǎn)距離的平方和為定值，正確．
④若P為正多邊形外接圓上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到各個(gè)頂點(diǎn)距離的平方和為定值．正確．
故答案為：①②③④．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查類比推理的應(yīng)用，考查學(xué)生分析問(wèn)題的能力，綜合性較強(qiáng)，難度較大．