Question

數列{a_n}和{b_n}滿足an=

1

n

(b1+b2+…+bn)（n=1，2，3…），求證{b_n}為等差數列的充要條件是{a_n}為等差數列．

Answer 1

分析：先證必要性：若{b_n}為等差數列，設首項b₁，公差d，由題意能導出an+1-an=

d

2

，{a_n}為是公差為

d

2

的等差數列．再證充分性若{a_n}為等差數列，設首項a₁，公差d，則能導出b_n+1-b_n=2d，即{b_n}是公差為等差數列．

解答：證明：必要性若{b_n}為等差數列，設首項b₁，公差d
則an=

1

n

(nb1+

n(n-1)

2

d)=b1+

n-1

2

d
∵an+1-an=

d

2

，∴{a_n}為是公差為

d

2

的等差數列
充分性若{a_n}為等差數列，設首項a₁，公差d
則b₁+b₂+…+b_n=n[a₁+（n-1）d]=dn²+（a₁-d）
nb₁+b₂+…+b_n-1=d（n-1）²+（a₁-d）（n-1），（n≥2）
∴b_n=2dn+（a₁-2d），（n≥2）
當n=1時，b₁=a₁也適合
∵b_n+1-b_n=2d，∴{b_n}是公差為2d的等差數列

點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要注意證明充要性的證明步驟．