Question

已知函數(shù)f（x）對任意x∈R滿足f（x+1）=f（x-1），當(dāng)x∈[-l，1）時，f(x)=

ax+1(-1≤x＜0) x+b x+1 (0≤x＜1)

（a，b＞0），若f(

1

3

)=f(

3

2

)，則

1

a

+

1

b

的最小值為（　�。�

• A．1
• B．2
• C．

  5+2 6

  3

• D．

  10

  3

Answer 1

分析：先利用函數(shù)的性質(zhì)及分段函數(shù)的解析式求出2a+3b=3，于是

1

a

+

1

b

=（

1

a

+

1

b

）×

1

3

（2a+3b），展開利用基本不等式的性質(zhì)即可．

解答：解：由題意得，f（

3

2

）=f（

1

2

+1）=f（

1

2

-1）=f（-

1

2

）=-

1

2

a+1，
f（

1

3

）=

1 3 +b

1 3 +1

=

1+3b

4

，
由于f(

1

3

)=f(

3

2

)，
∴-

1

2

a+1=

1+3b

4

，即2a+3b=3，
則

1

a

+

1

b

=（

1

a

+

1

b

）×

1

3

（2a+3b）=

1

3

（5+

3b

a

+

2a

b

）≥

1

3

（5+2

6

）
當(dāng)且僅當(dāng)

3b

a

=

2a

b

時取等號，
故則

1

a

+

1

b

的最小值為

1

3

（5+2

6

）
故選C．

點評：本題主要考查了函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用，基本不等式等．將原式乘1后再利用基本不等式是解題的關(guān)鍵．