Question

對于n∈N^*（n≥2），定義一個如下數陣：，其中對任意的1≤i≤n，1≤j≤n，當i能整除j時，a_ij=1；當i不能整除j時，a_ij=0．設．
（Ⅰ）當n=6時，試寫出數陣A₆₆并計算；
（Ⅱ）若[x]表示不超過x的最大整數，求證：=；
（Ⅲ）若，，求證：g（n）-1＜f（n）＜g（n）+1．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）依題意可得，． ．
（Ⅱ）由題意可知，t（j）是數陣A_nn的第j列的和，因此是數陣A_nn所有數的和．而數陣A_nn所有數的和也可以考慮按行相加．對任意的1≤i≤n，不超過n的倍數有1i，2i，…，．因此數陣A_nn的第i行中有個1，其余是0，即第i行的和為．從而得到結果．
（Ⅲ）由[x]的定義可知，，所以．所以．再考查定積分，根據曲邊梯形的面積的計算即可證得結論．
解答：解：（Ⅰ）依題意可得，． ．
（Ⅱ）由題意可知，t（j）是數陣A_nn的第j列的和，因此是數陣A_nn所有數的和．
而數陣A_nn所有數的和也可以考慮按行相加．
對任意的1≤i≤n，不超過n的倍數有1i，2i，…，．
因此數陣A_nn的第i行中有個1，其余是0，即第i行的和為．
所以=．
（Ⅲ）證明：由[x]的定義可知，，
所以．所以．
考查定積分，將區間[1，n]分成n-1等分，則的不足近似值為，的過剩近似值為． 所以．
所以＜g（n）．所以g（n）-1＜g（n）+1．
所以g（n）-1＜f（n）＜g（n）+1．
點評：本小題主要考查高階矩陣、矩陣的應用、定積分等基礎知識，考查運算求解能力，屬于基礎題．