Question

某機床廠今年初用98萬元購進一臺數控機床，并立即投入使用，計劃第一年維修、保養費用12萬元，從第二年開始，每年的維修、保養修費用比上一年增加4萬元，該機床使用后，每年的總收入為50萬元，設使用x年后數控機床的盈利總額y元．
（1）寫出y與x之間的函數關系式；
（2）從第幾年開始，該機床開始盈利？
（3）使用若干年后，對機床的處理有兩種方案：①當年平均盈利額達到最大值時，以30萬元價格處理該機床；②當盈利額達到最大值時，以12萬元價格處理該機床．問哪種方案處理較為合理？請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）贏利總額y元即x年中的收入50x減去購進機床的成本與這x年中維修、保養的費用，維修、保養的費用歷年成等差數增長，，
（2）由（1）的結論解出結果進行判斷得出何年開始贏利．
（3）算出每一種方案的總盈利，比較大小選擇方案．
解答：解：（1）y=-2x²+40x-98，x∈N^*．
（2）由-2x²+40x-98＞0解得，，且x∈N^*，
所以x=3，4，，17，故從第三年開始盈利．
（3）由，當且僅當x=7時“=”號成立，
所以按第一方案處理總利潤為-2×7²+40×7-98+30=114（萬元）．
由y=-2x²+40x-98=-2（x-10）²+102≤102，
所以按第二方案處理總利潤為102+12=114（萬元）．
∴由于第一方案使用時間短，則選第一方案較合理．
點評：考查審題及將題中關系轉化為數學符號的能力，其中第二問中考查了一元二次不等式的解法，第三問中考查到了基本不等式求最值，本題是一個函數基本不等式相結合的題．屬應用題中盈利最大化的問題．