Question

如圖，直角三角形ABC的頂點坐標A（-2，0），直角頂點，頂點C在x軸上，點P為線段OA的中點．
（1）求BC邊所在直線方程；
（2）M為直角三角形ABC外接圓的圓心，求圓M的方程；
（3）若動圓N過點P且與圓M內切，求動圓N的圓心N的軌跡方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由，AB⊥BC，知，由此能求出BC邊所在直線方程；
（2）在BC邊所在直線方程中，令y=0，得C（4，0），由此知圓心M（1，0），再由AM=3，可求出圓M的方程；
（3）由圓N過點P（-1，0），知PN是該圓的半徑．再由動圓N與圓M內切，知MN+PN=3，故點N的軌跡是以M、P為焦點，長軸長為3的橢圓，由此能求出其軌跡方程．
解答：解：（1）∵，AB⊥BC，
∴，
∴（3分）
（2）在上式中，令y=0，得C（4，0），
∴圓心M（1，0）
又∵AM=3，
∴外接圓的方程為（x-1）²+y²=9（7分）
（3）∵P（-1，0），M（1，0）
∵圓N過點P（-1，0），
∴PN是該圓的半徑
又∵動圓N與圓M內切，
∴MN=3-PN，即MN+PN=3（11分）
∴點N的軌跡是以M、P為焦點，長軸長為3的橢圓，
∴，c=1，（13分）
，
∴軌跡方程為（15分）
點評：本題考查圓錐曲線的軌跡方程，解題時要認真審題，仔細求解，注意公式的合理運用．