Question

（09年朝陽(yáng)區(qū)二模理）（14分）

已知函數(shù)．

(Ⅰ)求函數(shù)的最小值；

(Ⅱ)求證：；

(Ⅲ)對(duì)于函數(shù)與定義域上的任意實(shí)數(shù)，若存在常數(shù)，使得和都成立，則稱直線為函數(shù)與的“分界線”.設(shè)函數(shù)，，與是否存在“分界線”？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

解析：(Ⅰ)解：因?yàn)?IMG height=24 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090514/20090514171409001.gif' width=91>，令，解得，

令，解得，

所以函數(shù)在上遞減，上遞增，

所以的最小值為．                   ………………………3分

(Ⅱ)證明：由(Ⅰ)知函數(shù)在取得最小值，所以，即

兩端同時(shí)乘以得，把換成得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．

由得，，， ，…

         ，．

將上式相乘得

．………………………9分

（Ⅲ）設(shè).

    則．

   所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．

因此時(shí)取得最小值0，則與的圖象在處有公共點(diǎn)．

設(shè)與存在 “分界線”，方程為.

由在恒成立，

則在恒成立.

所以成立.因此.

下面證明成立.

 設(shè)，.

 所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

        因此時(shí)取得最大值0，則成立.

所以，.                          ………………………14分