Question

（本小題12分）橢圓:的兩個焦點為,點在橢圓上，且.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若直線過圓的圓心，交橢圓于兩點，且關(guān)于點對稱，求直線的方程。

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）

【解析】

試題分析：

(Ⅰ)依題可設(shè)橢圓方程為,

因為點在橢圓上，所以 ，則     ……2分

在△中，， 故,

從而，

 所以橢圓的方程為 .                                    ……4分

(Ⅱ)（解法一）設(shè)的坐標(biāo)分別為。

   已知圓的方程為,所以圓心的坐標(biāo)為.

   從而可設(shè)直線的方程為,

   代入橢圓的方程得.……8分

   因為關(guān)于點對稱. 所以 且  

   解得，所以直線的方程為 即

   (經(jīng)檢驗，所求直線方程符合題意)                                 ……12分

（解法二）已知圓的方程為，故圓心為.

          設(shè)的坐標(biāo)分別為。

          由題意  ①

                ②

         由①－②得：        ③

         因為關(guān)于點對稱，所以，

         代入③得， 即直線的斜率，               ……10分

         所以直線的方程為，即

        (經(jīng)檢驗，所求直線方程符合題意.)                            ……12分

考點：本小題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力和計算能力.

點評：直線與圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線等）的位置關(guān)系是每年高考的重點也是難點，學(xué)生在復(fù)習(xí)備考時，要了解直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題的解決方法，尤其是通性通法和常用技巧，如設(shè)而不求、點差法等，另外還要注意計算能力的培養(yǎng)與訓(xùn)練，養(yǎng)成良好的運算習(xí)慣.