Question

空間四邊形ABCD中，AB、BC、CD的中點分別是P、Q、R，且PQ=2，QR=

5

，PR=3，那么異面直線AC與BD所成的角是（　　）

A．90°

B．60°

C．45°

D．30°

Answer 1

分析：首先分別在△BCD和△ABC利用中位線定理，證出QR∥BD且PQ∥AC，從而PQ、QR所成的銳角或直角就是異面直線AC與BD所成的角．然后在△PQR中，利用勾股定理逆定理，得到∠PQR=90°，所以異面直線AC與BD所成的角為90°．

解答：解：∵△BCD中，Q、R分別是BC、CD的中點，
∴QR∥BD
同理可得：△ABC中，PQ∥AC，
因此PQ、QR所成的銳角或直角就是異面直線AC與BD所成的角．
∵△PQR中，PQ=2，QR=

5

，PR=3，
∴PQ²+QR²=9=PR²，可得∠PQR=90°
∴異面直線AC與BD所成的角為90°
故選A

點評：本題已知空間四邊形三條棱中點為頂點構成的三角形的邊長，求它的對角線所在直線的所成角，著重考查了異面直線所成角和勾股定理逆定理等知識，屬于基礎題．