Question

已知函數f（x）=aln（1+x）-x²，當?p，q∈（0，1），且p-q＞0時，不等式f（p+1）-f（q+1）＞p-q恒成立，則實數a的取值范圍為（　　）

• A．(1，

  7

  8

  ]
• B．[15，+∞）
• C．[-1，-

  1

  2

  ]
• D．（15，+∞）

Answer 1

分析：由于

f(p+1)-f(q+1)

p-q

 表示點（p+1，f（p+1）） 與點（q+1，f（q+1））連線的斜率，故函數圖象上在區間（1，2）內任意兩點連線的斜率大于1，故有 f′（x）=

a

x+1

-2x＞1 在（1，2）內恒成立，即 a＞2x²+3x+1在（1，2）內恒成立，由此求得a的取值范圍．

解答：解：∵p-q＞0時，不等式f（p+1）-f（q+1）＞p-q恒成立，即

f(p+1)-f(q+1)

p-q

＞1恒成立，
又

f(p+1)-f(q+1)

p-q

=

f(p+1)-f(q+1)

(p+1)-(q+1)

 表示點（p+1，f（p+1）） 與點（q+1，f（q+1））連線的斜率，
∵實數p，q在區間（0，1）內，∴p+1和q+1在區間（1，2）內．
∴函數圖象上在區間（1，2）內任意兩點連線的斜率都大于1，
∴函數的導數大于1在（1，2）內恒成立．
由函數的定義域知，x＞-1，
∴f′（x）=

a

x+1

-2x＞1 在（1，2）內恒成立．
即a＞2x²+3x+1在（1，2）內恒成立．
由于二次函數y=2x²+3x+1在[1，2]上是單調增函數，
故x=2時，y=2x²+3x+1 在[1，2]上取最大值為15，∴a≥15，
故答案為[15，+∞）．

點評：本題考查斜率公式的應用，函數的恒成立問題，以及利用函數的單調性求函數的最值．