Question

已知函數f（x）=(

3

sinωx+cosωx)cosωx-

1

2

（ω＞0），其相鄰兩個最值點的橫坐標之差為2π．
（1）求f（x）的單調遞增區間；
（2）在△ABC中，角A、B、C的對邊分別是a、b、c滿足tanB=

3 ac

a2+c2-b2

且B為銳角，求函數f（A）的值域．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,余弦定理

專題：三角函數的求值,三角函數的圖像與性質,解三角形

分析：（1）化簡可得解析式f（x）=sin（2ωx+

π

6

），由題意可得周期，從而可求ω，得函數解析式，從而可求f（x）的單調遞增區間；
（2）由已知化簡可得sinB=

3

2

，從而求得B的值，從而根據A的范圍，即可求得函數f（A）的值域．

解答： （本小題滿分12分）
解：（1）f(x)=

3

sinωxcosωx+cos2ωx-

1

2

=sin(2ωx+

π

6

)
∵

1

2

T=

1

2

2π

2ω

=2π，
∴ω=

1

4

，
∴f(x)=sin(

1

2

x+

π

6

)
∴f（x）的單調遞增區間為[4kπ-

4π

3

，4kπ+

2π

3

](k∈Z)）
（2）由題意得：tanB=

3 ac

a2+c2-b2

=

3

2cosB

，
∴

sinB

cosB

=

3

2cosB

，
∴sinB=

3

2

，
∵B為銳角
∴B=

π

3

        
∵f(A)=sin(

1

2

A+

π

6

)，0＜A＜

2π

3

，
∴

π

6

＜

A

2

+

π

6

＜

π

2

∴f(A)∈(

1

2

，1)

點評：本題主要考查了三角函數中的恒等變換應用，三角函數的圖象與性質，解三角形，三角函數值域的求法，屬于中檔題．