Question

設等比數列{a_n}的公比為q，前n項和S_n＞0(n＝1，2，…)，

(1)求q的取值范圍；

(2)設b_n＝a_n+2－a_n+1，記{b_n}的前n項和為T_n，試比較S_n和T_n的大小．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)因為{an}是等比數列，Sn＞0，可得a1＝S1＞0，q≠0．當q＝1時，Sn＝na1＞0． 　　當q≠1時，，即(n＝1，2，…)，上式等價于不等式組 　　①或②(n＝1，2，…)． 　　解①式，得q＞1；解②式，由于n可為奇數、可為偶數，得－1＜q＜1．綜上，q的取值范圍是(－1，0)∪(0，＋∞)． 　　(2)由bn＝an+2－an+1，得bn＝an(q2－q)， 　　∴Tn＝(q2－)Sn． 　　于是Tn－Sn＝Sn(q2－q－1)＝Sn(q＋)(q－2)． 　　又∵Sn＞0且－1＜q＜0或q＞0， 　　當－1＜q＜－或q＞2時，Tn－Sn＞0，即Tn＞Sn； 　　當－＜q＜2且q≠0時，Tn－Sn＜0，即Tn＜Sn； 　　當q＝－或q＝2時，Tn－Sn＝0，即Tn＝Sn． 　　思路分析：根據Sn＞0，解不等式可求出q的取值范圍；(2)中可以利用bn＝an+2－an+1，找到前n項和Tn與Sn的關系式，再比較大小時就較容易了，另外要注意分類討論．