Question

橢圓C：（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁（-1，0）、F₂（1，0），O是坐標原點，C的右頂點和上頂點分別為A、B，且|AB|=3．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線x=ky+1與C交于相異兩點M、N，且，求k．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用橢圓的焦點坐標，及|AB|=3，建立方程組，即可求得橢圓C的方程；
（Ⅱ）直線x=ky+1代入橢圓方程，消去x可得一元二次方程，利用韋達定理及向量條件，即可求得結論．
解答：解：（Ⅰ）由題意，，∴a²=5，b²=4
∴橢圓C的方程為；
（Ⅱ）直線x=ky+1代入橢圓方程，消去x可得（5k²+4）y²+8ky-16=0
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則y₁+y₂=，y₁y₂=
∴
∵
∴
∴k²=1，從而k=±1
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查向量知識，考查韋達定理的運用，聯立方程，正確運用韋達定理是關鍵．