Question

求證是無理數(shù)．

Answer 1

答案：
解析：

分析：此題可以看作是證明不是有理數(shù)，這種以否定形式出現(xiàn)的命題常用反證法來證明．即從假設(shè)是有理數(shù)入手，通過推理論證，推出與假設(shè)矛盾的結(jié)論，從而說明假設(shè)不成立，即原命題的否定不成立，則原命題成立． 要證此題還需明確有理數(shù)和無理數(shù)的區(qū)別，從定義上看無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，有理數(shù)可視為以R為全集無理數(shù)集的補(bǔ)集，這在此題的證明中難作依據(jù)，而無理數(shù)和有理數(shù)的區(qū)別在于能否表示為(m、n為互質(zhì)的正整數(shù))這一特征卻便于證明此題． 證明 假設(shè)是有理數(shù)，則=(m、n為互質(zhì)的正整數(shù))． 從而可得 m=n． 兩邊平方得2m·m=n·n． ∴ 2必為n的因數(shù)． 令n=2k(k∈N*)，代入(1)中，得2m·m=4k·k． ∴ 從而知2必為m的因數(shù)． 因而可得結(jié)論“2是m、n的公因數(shù)”，這與m、n為互質(zhì)正整數(shù)的假設(shè)矛盾． ∴ 假設(shè)是有理數(shù)不成立． 故是無理數(shù)． 說明：一般常用反證法證明的題型有：(1)命題的結(jié)論以否定形式出現(xiàn)時(shí)；(2)命題結(jié)論以“至多”、“至少”的形式出現(xiàn)時(shí)；(3)命題的結(jié)論以“無限”的形式出現(xiàn)時(shí)；(4)命題的結(jié)論以“唯一”、“共點(diǎn)”、“共線”、“共面”的形式出現(xiàn)時(shí)；(5)命題不易直接證明時(shí)．